Unidad II: Métodos numéricos para localizar raíces de ecuaciones.

Unidad II: Métodos numéricos para localizar raíces de ecuaciones.

Método gráfico

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

1. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
2. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

   x + y = 600

2x - y = 0

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

      y = -x + 600

y = 2x

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y = -x + 600		y = 2x
x	y	x	y
200	400	100	200
600	0	200	400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

<="" td="">

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.

Resolución numérica de ecuaciones: método de bisección

Se presenta aquí un método sencillo, basado directamente en el Teorema de Bolzano, que permite, en determinadas circunstancias, calcular la solución de una ecuación. Hay que comenzar por decir que cualquier ecuación en una variable se puede siempre escribir (y no de manera única) en la forma de una equivalente (es decir, que tiene las mismas soluciones) pero con segundo miembro nulo f(x)=0

La ecuación x = 2x se puede también escribir x 2x = 0. También se tiene x = 2x , x = 1 2x , x 2x = 1, luego también se puede escribir x 2x 1=0.

Método de bisección

 Sin mucha precisión, el método de bisección consiste en lo siguiente: 1. Subdividir en dos partes el intervalo en que se sabe que la función cambia de signo y tiene una sola raíz.

 2. Averiguar, utilizando el Teorema de Bolzano, en cuál de las dos mitades se encuentra la raíz y descartar la otra mitad del intervalo.

 3. Reiniciar este proceso con el subintervalo elegido.

 4. Continuar con este proceso hasta que el subintervalo elegido tenga una longitud lo suficientemente pequeña como para que cualquiera de sus puntos sea una aproximación aceptable de la solución. La elección óptima como aproximación es, entonces, el punto medio del subintervalo.

Resolución numérica de ecuaciones: método de Newton

 El método de bisección, presentado en la sección anterior, sólo hace uso de los valores que toma la función f cuyas raíces se quieren calcular. En esta sección se presenta un método que utiliza además los valores que toma la derivada de f. Naturalmente, esto requiere que f sea derivable. Sea, pues, f : [a, b] ⇢ R ! R una función continua, derivable y con derivada continua. Se supone que la ecuación f(x)=0 tiene en el intervalo (a, b) una única solución ↵, que no se conoce y se desea aproximar: f(↵)=0, ↵ 2 (a, b) Se recuerda que ↵ es un punto de corte de la gráfica de y = f(x) con el eje OX.

Método de Newton

 Consiste en lo siguiente:

1. Elegir un punto x0 que esté cerca de la solución. 2. Calcular sucesivamente los puntos xn+1 = xn f(xn) f0 (xn) , para n = 0, 1, 2,... hasta conseguir una aproximación lo suficientemente buena de ↵. Observaciones: 1. En la descripción anterior hay dos indefiniciones claras: a)

 ¿Cómo se elige un punto x0 que esté cerca de la solución? No hay una respuesta general a esta pregunta. Puede que se conozca, por ejemplo, por razones empíricas o por análisis previo. Si no, una posibilidad es utilizar previamente el método de bisección y comenzar el método de Newton en la solución proporcionada por aquél.

b) ¿Cómo se sabe si una aproximación es lo suficientemente buena? En la práctica, lo que se suele hacer cuando se utiliza este método con un ordenador, es detenerse cuando dos aproximaciones consecutivas están muy cercanas: |xn+1 xn| < una cantidad muy pequeña previamente fijada, por ejemplo 104

2. Como se ha visto, en el método de Newton hay que dividir por el valor de la derivada de f en determinados puntos, que están cercanos a la solución. Naturalmente, es imprescindible, pues, que la derivada f0 no se anule cerca de la solución.

3. Este método utiliza mucha más información sobre la función f que el método de bisección, que se vio en el Tema 3, ya que hace uso de la derivada. Es por ello lógico que sea mejor, es decir más rápido en llegar a la solución. De hecho, es mucho más rápido.

Utilizando el método de Newton, aproximar la solución de la ecuación x 2x = 0 en el intervalo [0, 1]. Denotemos f(x) = x 2x. Sabemos que f es derivable en R y f0 (x) = 1 + ln(2) 2x

Utilizamos ahora el método de Newton para aproximar la solución de la ecuación. Tomamos como primer punto x0 = 0. Se tiene: x1 = x0 f(x0) f0 (x0) = 0 0 20 1 + ln(2) 20 ⇡ 0.590616109 Partiendo de x1, calculamos x2 = x1 f(x1) f0 (x1) ⇡ 0.640909617 Repetimos el proceso y calculamos x3 = x2 f(x2) f0 (x2) ⇡ 0.641185736 Repetimos el proceso una vez más y obtenemos x4 = x3 f(x3) f0 (x3) ⇡ 0.641185744

Observamos que las 7 primeras cifras decimales de las dos últimas aproximaciones son iguales: 0.6411857. De hecho, esto indica, en general, que dichas 7 primeras cifras son exactas (en este caso, en concreto, todas las cifras de x4 son exactas). Se tiene: |x4 x3| = 0.000000008 = 8 ⇥ 109 < 108

 Tomamos, pues x4 = 0.6411857 como aproximación de la solución. Observación: Esta misma ecuación fue resuelta, en el Ejercicio 4.5, por el método de bisección, encontrándose allí la aproximación 0.65625 tras 4 iteraciones. Esta aproximación sólo tiene una cifra decimal exacta: 0.6. Con el método de Newton hemos encontrado una aproximación con 9 cifras decimales exactas en 4 iteraciones. Resulta obvio, pues, que este método es (mucho) más rápido que el de bisección (de hecho, es el más rápido).